案例：基于分形理论的汇率预侧
本案例从2003年11月25日到2006年11月24日，选取有关美/日汇率每天的比值共784个进行分析。
1) R/S分析计算
R/S分析的各项指标如表14-3所示，出于简化考虑，这里只给出了一部分。
表14-3 外汇R/S分析的各项指标
2)转折点的选择
如图14-5所示，可以看到V(R/S)曲线在N=32,52,60,87,156时出现了转折点。为判定序列长期记忆消失的临界点，根据这5个转折点进行5次回归，并做显著性检验，回归分析结果如表14-4所示。从表14-4中可以发现，通过S统计量的计算，得到在置信度α=95%(临界值为1196)时，只有第一组回归的S统计量大于1196,因此判定N=32是序列的转折点。因此，美/日汇率的平均循环长度为32天。
用最小二乘法(OLS)求得该时间序列的H值为0.59935,E(H)值为0.67615。依照上述计算方法得出：美/欧的分形维H为0.54330,E(H)为0.63218，循环周期为78天；欧/日的分形维H为0.54049, E(H)为0.6219，循环周期为112天。
图14-5 美/日汇率的犷统计量
表14-4 V(R/S)曲线回归检验
通过上面分析研究，可以得出如下结论：
(1)可以看出，拟合优度R²的值都较大，十分接近于1，这说明一元线性回归的拟合程度很好;在T检验中，即使是在99.95%的极高的显著水平下，解释变量通过了变量显著性检验，即解释变量是显著的。
(2)通过计算得出的美/日汇率的日收益率的Hurst指数介于0.15和1之间，但H值比较小，这表明该序列具有持久性特征和分形结构，美旧汇率的变化不是一个随机游走的过程，而是一个有偏的随机过程。美元和日元之间不是相互独立的，而是存在着内在的联系，具有持久性的特征，即前期是向上(下)的，下一个时期多半也是向上(下)的。同时，H值越接近0.5，它的噪声越大，变动的趋势越不稳定，因此所对应的投资风险就越大。
(3)外汇市场中美/日的平均循环长度大约为32天。值得注意的是，这里的循环周期不是严格意义下的周期，而是指长期记忆消失的时间，即在这个32天内美旧汇率将会对下一个32天内的美/日汇率产生影响，而32天后的美旧汇率与现在的美/日汇率是相互独立的。
