二项式概率模型
1.二项式模型的分析理念
二项式数值方法同时也被称作为点阵方法（ lattice approach），它最早是由威廉·夏普（ william Sharpe）在1978年提出的。考克斯，若斯，罗宾森（Cox，Rossand Rubinstein）在1979年正式建立二项式模型，该模型是一个非常重要的概率模型估值理论，考克斯，若斯，罗宾森认为BS模型是在假设权证为欧式情况下推导出的，对于当时普遍存在的美式权证的估值并不适用。同时，考克斯也认同二项式模型同BS模型在很多方面都很相似，运用这两个模型定价的结果基本上一致。实际上，从逻辑原理上看，二叉树定价模型可以说是BS模型的逻辑基础，虽然BS模型提出的时间在前，运用数学极限的方法可以从二项式模型直接得到BS模型。
其主要理念为：把权证到期日前剩余的时间划分成离散的区域，同时假设在每个这区域中，资产价格如股票价格—服从一个从初始值S开始变动到Sa（以概率p）和Sd（以概率1-p）的两项过程。这个过程产生了一个股S票价格“树”（或点阵）。给定这个股票价格的集合，看涨权证可以通过从到期日逆向后推来估值，见图3－2。
如果从其中一个最终的股票价值开始，就可以直接得到相应一个看涨权证的最终价值。图3-2二项式模型示意图再借鉴BS模型的思想，即股票和看涨权证可以组合产生一个无风险证券组合。那么就可以沿着这个“树”从后向前，在时间上就是从T转向T-1，使用无风险利率把在时期T的证券组合价值贴现到时期T-1。这一个过程可以延续下去，即从时间T-1到T-2，以期可以得到看涨权证的价值。
2.二项式模型具体内涵
二项式模型假设把该权证有效期划分成N个长度为△t的小区间，令f.（0≤i≤N，0≤j≤）表示在时间it时第j结点处的美式看涨权证的价值，将∫.称为结点（i，j的权证价值，同时用Sv、d表示结点（i，j处的证券价格。由于美式看涨权证在到期时的价值式是max（Sr-K，0），于是有：fNmax（sld-K，0）。当时间从it变为（+1）△t，我们认为证券价格只有两种运动的方向，从结点（i，j移动到结点（i+1，j+1）的概率为p，移动到（i+1，j的概率为1一p。假设期权不被提前执行，则在风险中性条件下美式看涨权证的价值为：
（3-16）
如果考虑提前执行的可能性的话，则式（3-16）中的f，必须与期权的内在价值比较，由此可得f，=max{Sd-X，eA[pf计，+（1-p）f#，}按上述方法倒推计算，当时间区间的划分趋于无穷大，或者说每一区间△趋于0时，就可以求出美式看涨期权的准确价值。根据实践经验，一般将时间区间分成30~40步就可得到较为理想的结果。所以当参数p，u，d满足下列条件时，
（3-17）
3.二项式模型的评述
二项式模型最大贡献在于，可以处理一系列不同资产、期权或市场条件。因此这种方法在美式期权权证和更复杂的金融衍生品估值中被广泛加以采用。二项式估值模型被广泛使用的一个领域就是在利率期权的估值中。早期人们要么使用BS模型给债券期权估值要么使用BS期货模型给债券期权估值。人们意识到使用这些模型存在两个问题：①BS模型假设利率是固定的，这个假定显然与债权期权的定价不符。②BS模型假设波动率是固定的，但是对于利率而言，随着到期日的临近，波动率是下降的随着债券临近到期日，波动率趋向为0。
